Ensembles finis Exemples

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) = \log_{3} (3 x - 1)$

Étape 1

Soustrayez $\log_{3} (3 x - 1)$ des deux côtés de l’équation.

$\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Étape 2

Simplifiez $\log_{3} (5 - x) + \log_{3} (x + 1) - \log_{3} (3 x - 1)$ .

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Étape 2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((5 - x) (x + 1)) - \log_{3} (3 x - 1) = 0$

Étape 2.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$

Étape 3

Réécrivez $\log_{3} (\frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{0} = \frac{(5 - x) (x + 1)}{3 x - 1}$

Étape 4

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(5 - x) (x + 1) = 3^{0} (3 x - 1)$

Étape 5

Simplifiez $3^{0} (3 x - 1)$ .

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Étape 5.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 1 (3 x - 1)$

Étape 5.2

Multipliez $3 x - 1$ par $1$ .

$(5 - x) (x + 1) = 3 x - 1$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$(5 - x) (x + 1) - 3 x = - 1$

Étape 6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1

Développez $(5 - x) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x + 1) - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Étape 6.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 \cdot 1 - x (x + 1) - 3 x = - 1$

Étape 6.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 x + 5 \cdot 1 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Étape 6.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 x + 5 - x \cdot x - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$5 x + 5 - (x \cdot x) - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Étape 6.2.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x \cdot 1 - 3 x = - 1$

Étape 6.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 x + 5 - x^{2} - x - 3 x = - 1$

Étape 6.2.2.2

Soustrayez $x$ de $5 x$ .

$4 x + 5 - x^{2} - 3 x = - 1$

Étape 6.3

Soustrayez $3 x$ de $4 x$ .

$x + 5 - x^{2} = - 1$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x - x^{2} = - 1 - 5$

Étape 7.2

Soustrayez $5$ de $- 1$ .

$x - x^{2} = - 6$

Étape 8

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x - x^{2} + 6 = 0$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x - x^{2} + 6$ .

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Étape 9.1.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 6 = 0$

Étape 9.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 6 = 0$

Étape 9.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 6 = 0$

Étape 9.1.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Étape 9.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 6 = 0$

Étape 9.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - x) - 1 (- 6)$ .

$- (x^{2} - x - 6) = 0$

Étape 9.2

Factorisez.

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Étape 9.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 6$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 3, 2$

Étape 9.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Étape 9.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 3) (x + 2) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Étape 11

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 12

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x - 3) (x + 2) = 0$ vraie.

$x = 3, - 2$